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Enigmes échiquéennes, correction

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Les énigmes

4 Reines

Nous disposions ici d'un plateau de 5 cases de côtés, sur lequel nous devions disposer 5 Reines. Cette première énigme n'était pas difficile, et même en essayant plus ou moins au hasard plusieurs combinaisons, il était possible de trouver la solution. Cependant, il est plus intéressant de la trouver en réfléchissant un peu. Pour ce faire, il faut se pencher sur les possibilités de déplacements des Reines. Deux d'entre elles peuvent se croiser à condition qu'elles se trouvent sur une même ligne, colonne ou diagonale. Nous devons donc nous demander comment éviter que deux Reines ne se retrouvent sur une même ligne, colonne ou diagonale. Avec un peu d'attention, on se rend compte que cette condition est remplie si, à partir d'une Reine déjà placée, on se déplace d'un certain nombre de lignes et d'un nombre différent de colonnes. Pour exemple, si j'ai une Reine en B2, je pourrai placer une autre Reine en C4, ou encore en D3, etc.

Bien entendu, lorsqu'il n'y a qu'une seule Reine placée, c'est assez simple, mais cela se corse rapidement lorsqu'elles sont plus nombreuses. Pour ce premier problème, plusieurs solutions étaient possibles, en voici une (les Reines sont représentées par des étoiles) :



Comme vous le voyez, il existe d'autres solutions, ne serait-ce que par des translations globales des Reines vers la droite ou vers le bas. Vous remarquez que j'ai respecté la condition posée tout à l'heure : chaque Reine est déplacée d'un nombre différent de lignes que de colonnes par rapport à toutes les autres. Cette question était la plus facile, mais considérez-là comme un échauffement, et passons à la suite.

5 Reines

Nous sommes maintenant sur un échiquier de 5 lignes et 5 colonnes, et nous devons disposer 5 Reines (en d'autres termes, une par ligne, par colonne et par diagonale). Le raisonnement est le même que précédemment, donc je ne vais pas m'attarder dessus, voici une des solutions possibles :



On retrouve globalement la même situation qu'au dessus, à la différence près que j'ai ajouté une étoile en F6.

Couvrons tout le terrain

Histoire de varier un peu, je vous ai proposé ici un jeu différent : nous sommes sur un plateau carré de 25 cases et nous disposons de 3 Reines. En plus de la condition habituelle (c'est à dire, une Reine par ligne, colonne et diagonale), toutes les cases doivent être couvertes, ce qui implique qu'aucune Reine supplémentaire ne puisse être placée.
C'est un peu plus délicat que les problèmes précédents, et il semble difficile de procéder au hasard. Il est donc nécessaire de réfléchir plus profondément. En observant attentivement le plateau de jeu, on constate qu'il sera impossible de couvrir la totalité du terrain si on se place au centre (c'est à dire en C3). En effet, en plaçant une Reine en C3, on ne pourra plus placer des Reines qu'en B1 ; D1 ; A2 ; E2 ; A4 ; E4 ; B5 et D5. Imaginons le cas où nous plaçons une seconde Reine en A2 (le raisonnement est le même dans les autres cas, il suffit de réaliser des symétries). Il ne reste alors plus que les cases D1 ; E4 et B5. Or ces trois cellules ne sont ni sur une même ligne, ni sur une même colonne, ni sur une même diagonale. On est donc certains de ne pouvoir placer aucune Reine en C3.
Puisqu'on ne peut pas placer une Reine en C3, il faut trouver un autre moyen de couvrir les cellules C1-C5 et A3-E3. En nous plaçant sur une des cases ayant un côté commun avec C3, nous protégeons déjà 3 cellules. Dans ma correction, je place donc ma première Reine en D3, mais vous pouvez également la placer en C2 ; B3 ou C4. Vous devrez ensuite raisonner par symétrie pour continuer la lecture de la correction. En plaçant une Reine en D2, je couvre les diagonales E2-B5 et B1-E4, la colonne D1-D5 et la ligne A3-E3, donc les cellules centrales C2 ; C3 et C4. Pour verrouiller les cellules C1 et C5, je n'ai plus énormément de choix. J'ai donc choisi de placer une seconde Reine en B4 et la dernière en A1. C'était la seule solution possible si je plaçais ma première Reine en D2 (les autres solutions s'obtiennent par des rotations de celle-ci). Si vous avez eu du mal à suivre, je vous invite à vous faire des schémas en rayant au fur et à mesure les cellules protégées. Voici donc le schéma bilan :

8 Reines

Nous arrivons enfin à la dernière énigme, et probablement la plus difficile. Un échiquier complet (donc de 64 cases) et 8 Reines, soit une par ligne, colonne et diagonale. Ça semble très simple, mais c'est en fait assez complexe et il est nécessaire de procéder avec méthode. Il existe 12 solutions différentes (si on supprime celles que l'on obtient par rotations de l'ensemble de l'échiquier), et elles sont toutes trouvables sur Internet. Cependant, essayez d'en trouver au moins une par vous-même. Je n'ai pas de méthode particulière à vous suggérer, il faut essayer, et modifier en essayant d'anticiper l'influence de chacune des Reines sur les 7 autres.

Voici donc une des solutions possibles :



Ces quelques énigmes avec les Reines aux échecs sont très célèbres, et il est possible que vous en connaissiez déjà certaines si vous aimez les échecs. Je vous en proposerai peut-être d'autres si je m'aperçois que vous les appréciez (mais pour que je le sache, il faudrait que les commentateurs cessent leurs grève...).

En attendant, très joyeux réveillon à tous !

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